Auch in seiner Anfangszeit als Richter am BAG ab Mai 2001 war Linck dem Fünften Senat zugeteilt. Ab Februar 2007 war er dann im Sechsten Senat tätig – seit 2008 als stellvertretender Vorsitzender. Seit November 2009 gehörte er dem Ersten Senat als stellvertretender Vorsitzender an. Im Mai 2014 wurde Linck zum Vorsitzenden Richter am BAG ernannt und übernahm zunächst den Vorsitz des Zehnten Senats, bis er dann im Oktober wiederum in den Fünften Senat wechselte. Zum Vizepräsidenten ernannt worden war er im Juni 2017.
Linck war an zahlreichen maßgeblichen Entscheidungen des BAG beteiligt. Während seiner Tätigkeit im Zehnten Senat betraf dies vor allem Fragen der Arbeitsvertragskontrolle nach dem Recht der Allgemeinen Geschäftsbedingungen bei Sonderzahlungen und leistungsorientierten Vergütungsbestandteilen. Bedeutsam waren auch die unter seinem Vorsitz ergangenen Entscheidungen zu Reichweite und Kontrolle des Weisungsrechts des Arbeitgebers und zu nachvertraglichen Wettbewerbsverboten. Mit den Entscheidungen über die Rechtswirksamkeit von Allgemeinverbindlicherklärungen nach § 5 TVG wurde das vom Gesetzgeber neu geschaffene Verfahren des § 98 ArbGG erstmals verfahrensrechtlich strukturiert und die anzuwendenden materiell-rechtlichen Prüfungsmaßstäbe umfassend herausgearbeitet.
Der Fünfte Senat hat unter Lincks Vorsitz im Dialog mit dem EuGH die Voraussetzungen für ein Abweichen vom Grundsatz der Gleichstellung im Leiharbeitsverhältnis durch Tarifvertrag präzisiert, die Kriterien für die Erschütterung des Beweiswerts einer Arbeitsunfähigkeitsbescheinigung konkretisiert sowie die Rechtsprechung zur Darlegungs- und Beweislast im Überstundenprozess und zur Anrechnung anderweitigen Verdienstes bei der Annahmeverzugsvergütung weiterentwickelt. Auch zahlreiche Vergütungsfragen im Zusammenhang mit der Corona-Pandemie und den zeitweiligen Lockdowns hat der Fünfte Senat unter seinem Vorsitz geklärt.
Als Vizepräsident waren ihm laut BAG die Belange der wissenschaftlichen Mitarbeitenden ein besonders Anliegen. In der Gerichtsverwaltung hat er die Modernisierung und Digitalisierung der Gerichtsanwendungen vorangebracht. Nach dem Ausscheiden der Präsidentin des BAG a.D. Ingrid Schmidt Ende September 2021 bis zur Ernennung der Präsidentin des BAG Inken Gallner Ende Januar 2022 hat Linck das BAG geleitet.
Neben seiner richterlichen Tätigkeit war und ist Linck auch als Autor und Mitherausgeber tätig. Neben zahlreichen Veröffentlichungen zu Entgeltfragen und zum Urlaubsrecht hat er an verschiedenen Kommentaren zum Kündigungsschutzrecht mitgearbeitet.
